Provas de Matematica OBMEP 2014 – Nivel 2

\(\left( UPE \right) \) No plano cartesiano, a reta s: 4x -3y +12 =0 intersecta o eixo das abscissas no ponto A e o eixo das ordenadas no ponto B . Nessas condições, qual é a distância entre os pontos A e B ?

\(\left( Ufam \right) \) Considere as retas r:2y - x = 10 e s: y + 2x = 5.

É correto afirmar que:

\(\left( UFPR \right) \) Considere a reta r de equação y = 2x + 1.

Qual das retas abaixo é perpendicular  à reta r e passa pelo ponto P = \(\left( 4,2 \right) \) ?

\(\left( UFRGS-RS\right) \) No pentágono representado abaixo no sistema de coordenadas cartesianas abaixo, os vértices possuem coordenadas inteiras.

As retas suporte dos lados  \( \bar {AE } \) e  \( \bar {BC } \) intersectam-se no ponto:

\(  \left( Unicamp-SP \right) \) No plano cartesiano, a reta de equação 2x - 3y = 12 intersecta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio dos segmentos \(  \bar { AB} \) tem coordenadas:

\( \left( UFRGS-RS \right) \) As equações das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas abaixo são 2x + y - 3 = 0, 5x - 4y - 8 = 0 e x - 3y + 3 = 0.

As equações de r e s são, respectivamente:

\( \left( ITA-SP \right)  \) A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r: x - 3y + 3 = 0 e s: 3x + y - 21 = 0, em unidades de área, é igual a:

\(  \left( FGV-SP\right)  \) No plano cartesiano, a reta \( \left( r\right)\) de equação y + kx = 2 é perpendicular á reta\( \left( s\right)\) que passa pela origem e pelo ponto \( \left( -5, 1\right)\) .

O ponto de interseção das retas \( \left( r\right)\) e \(\left( s\right)\) tem abscissa:

\(\left( PUC-RJ\right) \) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = \(\left( 4, 5 \right) \), B= \(\left( 4, 0 \right) \) e C = \(\left( c, 0 \right) \),

As equações de r e s são, respectivamente :

\( \left(Ufscar- SP \right) \) O retângulo da figura tem como vértices os pontos \( \left(1, 3  \right) \) , \( \left(5, 3 \right) \) , \( \left(5, -2 \right) \) e \( \left(1, -2 \right) \)

A equação da reta que passa pelo ponto \( \left(2, 0 \right) \) e divide o retângulo em dois polígonos de mesma área é:

\(\left( UFJF-MG \right) \) Dados os pontos A = \(\left( 1, 2 \right) \), B = \(\left( 3, 5  \right) \) , C= \(\left( 1, 1  \right) \) e D = \(\left( 2, 3 \right) \), considere as afirmações:

I. Os pontos A, B e D são colineares.

II. Uma reta perpendicular á reta determinada pelos pontos A e B tem coeficiente angular m = \( \frac { -2 }{ 3} \).

III. A distância do ponto A á reta determinada pelos pontos B e C é 10 unidades de comprimento.

É CORRETO afirmar que:

\(\left( PUC- RJ\right) \) Sejam r e s as retas das equações y = x - 2 e y =\( -\frac {x }{ 2 }\)  +\( -\frac {5 }{ 2 } \), respectivamente representados no gráfico abaixo. Seja A  o ponto de interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de interseção de r e s com o eixo horizontal, respectivamente.

A área do triângulo ABC vale:

\( \left( UFSM-RS \right) \) A figura mostra um jogo de videogame, em que aviões disparam balas visando atingir o alvo. Quando o avião está no ponto \( \left( 1 , 2 \right) \), dispara uma bala e atinge o alvo na posição \( \left( 3, 0  \right) \).

Sendo r  a reta determinada pela trajetória da bala, observe as seguintes afirmativas:

I. O ponto P \( \left( \frac {1 }{ 2} ,\frac { 5 }{ 2 } \right) \) pertence a r. 

II. A reta r é perpendicular à reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento  \( \left( \bar {AB } \right) \) onde A\( \left( 0,3 \right) \) e B \( \left( 3,0 \right) \).

III. A reta r é paralela á reta s: 2x - 2y + 5 = 0.

Está(ão) correta(s)

\( \left(UFV-MG \right)\) Sejam a e b números reais tais que a reta de equação \( \left(3b + 4a \right)\) x + 2y + b =0 é paralela ao eixo das abscissas e intersecta bissetriz dos quadrantes pares no ponto de abscissa x = -6. O valor de a é:

\(\left(UEPB \right) \) Um quadrilátero, cujos vértices são dados por E \(\left(-1, 0\right) \), F \(\left(-2, -2  \right) \), G \(\left(-1, -4  \right) \) e H \(\left(0, -2  \right) \), possui área igual a:

\( \left( UEPB\right) \) A reta de equação \( \left( x - 2 \right) \)m + \( \left( m-3  \right) \)y + m - 4 = 0, com m constante real, passa pelo ponto P \( \left( 2,0\right) \). Então, seu coeficiente angular é:

\(\left(Unifesp \right) \) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações  x- y - 2 = 0 e \( \frac {1 }{ 2}  \)x + y = 3, a área do triângulo de vértices A\(\left(0, 3 \right) \), B \(\left(2,0\right) \) e P é:

\(\left( Enem \right) \) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som  e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve á conversão do sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levas esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal ás antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas:

\( \left( Uece\right) \) Em um plano, munido do sistema coordenadas cartesianas usual, as equações 3x - 2y + 6 = 0 e 3x + 4y - 12 = 0, representam duas retas concorrentes. A medida da área da região limitada por essas retas e pelo eixo dos x é:

u.a = unidade de área

\(\left(PUC-SP \right) \) Suponha que no plano cartesiano mostrado na figura abaixo, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o quilômetro, as retas r e s representam os trajetos percorridos por dois navios \( { N}_{ 1 }\), \( { N}_{ 2 }\), antes de ambos atracarem em uma ilha, localizada no ponto I.

Considerando que, no momento em que \( {N }_{ 1}\) e \( {N }_{ 2}\) se encontravam atracados em I, um terceiro navio, \( {N }_{ 3}\), foi localizado no ponto de coordenadas \(\left(26, 29 \right) \), a quantos quilômetros \( {N }_{ 3}\) distava de I ?

\( \left( FGV SP \right) \) No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices A\( \left( 1,4 \right) \),B\( \left( 4,5 \right) \) e C \( \left( 6,2 \right) \).

A reta suporte da altura relativa ao lado \( \bar { AC} \) intersecta o eixo x no ponto de abscissa:

\( \left( FGV-SP\right) \) Observe as coordenadas cartesianas de cinco pontos. A \( \left( 0, 100\right) \), B\( \left(0, -100\right) \) , C\( \left( 10, 100\right) \), D\( \left( 10, -100\right) \), E\( \left( 100,0\right) \).

Se a reta de equação reduzida y= mx + n é tal que mn >0 então, dos cinco pontos dados anteriormente, o único que certamente não pertence ao gráfico dessa reta é:

\( \left( UFRGS RS \right) \) Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um hexágono regular ABCDEF de lado 1, tal que o ponto A tem coordenadas \( \left( 1, 0 \right) \) e o ponto D tem coordenadas \( \left( -1, 0 \right) \), como na figura abaixo.

A equação da reta que passa pelos pontos B e D é

\( \left( Enem \right) \) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam expostos a riscos de acidentes. Essa região está representada pela porção de cor cinza ( quadrilátero de área S) na figura.

Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização  da área isolada, cartazes informativos serão afixados por toda a fábrica. Para confeccioná-los, um programador utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de um conjunto de desigualdades algébricas. As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da região de isolamento, são

\( \left(Mac SP \right) \)  Na figura, as retas r e s são paralelas.

Se \( \left(x,y \right) \) é um ponto s, então x - y vale:

\( \left(Ufam \right) \) Sejam A \( \left(- 4, 2  \right) \), B \( \left(-8, -8 \right) \), C \( \left(0, 2 \right) \) e D \( \left(4, 12  \right) \) vértices consecutivos de um paralelogramo. A altura relativa ao lado \(\bar {BC } \) deste paralelogramo é igua a:

\(\left( Insper SP\right) \) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intersecta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intersecta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s intersectam se em um ponto de abscissa 6, então:

\( \left( FGV SP \right) \) Os pontos A \( \left( 3, -2 \right) \) e C \( \left( 1, 4 \right) \) do plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais são \(  \bar {AC } \) e \(  \bar {BD} \). A reta suporte da diagonal \(  \bar {BD } \) intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada:

\( \left(UPE \right) \) Qual a medida da área do quadrilátero limitadas pelas retas \( \left(r \right) \) y = 4; \( \left(s \right) \) 3x - y - 2 = 0; \( \left(t \right) \) y = 1 e \( \left(u \right) \) 3x + 2y - 20 = 0?

\(  \left( ITA SP \right) \) Considere os pontos A = \(  \left( 0, -1 \right) \), B = \(  \left( 0, 5 \right) \) e a reta r: 2x - 3y + 6 - 0. Das afirmações a seguir:

I. d \(  \left( A, r  \right) \) = d \(  \left( B, r \right) \).

II. B é simétrico de A em relação á reta r. 

III. \(\bar { AB } \) é a base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C\( \left( -3\sqrt { 3,} 2 \right) \) ou C\( \left( 3\sqrt { 3,} 2 \right) \)

\(\left( PUC SP\right) \) Em um sistema cartesiano ortogonal, em que a unidade de medida nos eixos é o centímetro, considere:

• a reta r, traçada pelo ponto \(\left( 2, 3\right) \) e paralela á bissetriz dos quadrantes ímpares;
• a reta s, traçada pelo ponto \(\left( 2, 5\right) \) e perpendicular a r;
• o segmento \( \bar { OA} \) em que o ponto O é a origem do sistema e A é a intersecção de r e s.

Um ponto M é tomado sobre o segmento \( \bar { OA} \) de modo que OM e MA correspondam ás medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo \( \triangle \). Se o outro cateto de \( \triangle \) mede 3 cm, a área de superfície, em centímetros quadrados é:

\( \left(Insper SP \right) \) No plano cartesiano de figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos A\( \left(8, 2 \right) \) e B\( \left(3,6 \right) \) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45°, representa uma estrada que será construída.

Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intersecta a existente, deverá ter coordenadas:

\( \left(Mack Sp \right) \)

Na figura acima a área, em \( { cm }^{ 2 }\), do triângulo ORV é:

\( \left( Ufscar SP\right) \) Sabe se, a respeito dos pontos P, Q e R, situados no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, que o ponto P\( \left( x,y\right) \) situa se no  1° quadrante, o ponto Q é simétrico do ponto P em relação ao eixo y e que o ponto R é simétrico do ponto Q em relação á reta y = 1. Pode se concluir, então que as coordenadas do ponto R são:

\(\left( FGV SP\right) \) O ponto da reta x - 3y = 5 que é mais próximo ao ponto \(\left( 1,3 \right) \) tem coordenadas cuja soma é:

\(\left( UFRGS RS\right) \) As retas de equações y = ax e y  = -x + b interceptam se em um único ponto cujas coordenadas são estritamente negativas.

Então, pode se afirmar que

\( \left( UFRGS RS \right) \) Os pontos A\( \left(1, 2 \right) \), B\( \left( 6, 2 \right) \) e C são os vértices de um triângulo equilátero, sendo o segmento \( \bar {AB } \) a base deste.

O seno do ângulo formado pelo eixo das abscissas e a reta suporte do lado \( \bar {BC} \) no sentindo anti horário é:

\( \left(FGV-SP \right) \)No plano cartesiano, a área do polígono determinado pelo sistema de inequações

é igual a

\( \left( Fatec-SP \right) \) No plano cartesiano representado a seguir, o coeficiente angular da reta \( \overleftarrow { O } \overrightarrow {A } \) é 1, e a área do losango ABCO é 8\( \sqrt { 2 } \). Portanto , o valor de p é:

\( \left( Uerj \right) \) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A\( \left( 0, 4 \right) \) e B\( \left(2,0 \right) \), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P\( \left( { x}_{ 0 },0 \right) \), sendo

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C\( \left( 0, 0 \right) \),A e B, o valor de \( { x}_{ 0}\) deve ser igua a:

\( \left( UEMG \right) \) Dadas as equações de reta r: x + y - 6 = 0 e s: 2x - y = 0 em um dado plano cartesiano de centro 0. As retas r e s são concorrentes no ponto P  e a reta r intercepta o eixo das abscissas no ponto Q. O volume do sólido formado pela rotação da figura plana formada pelos pontos OPQ em torno do lado \(\bar {OQ } \) é: \( \left ( use \pi = 3 \right)\)

\( \left( Unifesp \right) \) Num sistema cartesiano ortogonal, são dados os pontos A\( \left( 1,1 \right) \), B\( \left( 5,1 \right) \), C\( \left(6,3 \right) \) e D\( \left( 2, 3 \right) \), vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação r: 3x - 5y - 11 = 0.

A reta s, paralela á reta r, que divide o paralelogramo ABCD em dois polígonos, de mesma área terá por equação: