Noções de Conjuntos

Noções de conjuntos

Representação de um conjunto

Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos representados entre chaves por letras minúsculas.

 Exemplos:

 – O conjunto das letras do nosso alfabeto; L= {a, b, c, d,…, z}.

 – O conjunto dos dias da semana; S= {segunda, terça,… domingo}

  – A representação de conjuntos pode ser feita de três maneiras:

 1– Por extensão:

Quando o número de elementos são finitos pequeno suficiente para representá-los explicitamente.

 Exemplos:

– Conjunto dos meses do ano; A = {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril,…, Novembro, Dezembro}

 – Conjunto das vogais; V = {a, e, i, o, u}

– Conjunto dos números pares positivos; P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}

 2 – Por compreensão:

 Um conjunto é representado por compreensão quando: é enunciada uma propriedade característica dos seus elementos. Isto é, uma propriedade que os seus e só os seus elementos possuam.

Exemplos:

 B = {meses do ano}

D =  {os meus CDs de música}

 P = {p ∊ N: p = 2q para algum q ∊ N}

Q= {x ∊ N: x é primo}

R = {x: x é um número natural par e positivo}

S = {x ∊ Z: 2≤x<5}  

3 – Por Diagrama

Consiste em representar os elementos de um conjunto internamente a um retângulo (geralmente) e os elementos dos subconjuntos, limitados por uma linha fechada e não entrelaçada.

 Exemplo:

A é o conjunto das vogais do nosso alfabeto

Conjunto unitário

É o conjunto que possui um único elemento.

Exemplo: A= { fevereiro},

B =  { número primo que é par}.

Conjunto vazio

 É o conjunto que não possui elementos. É representado por: { } ou Ø.

Exemplo:

Assim teríamos: A= { } ou A = Ø

 Relação de pertinência

  Quando um elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence a esse conjunto.

Exemplos:

F = {0, 2, 4, 6, 8,…}

2  ∈  F →  lê-se: 2 pertence a F.

3  ∉  F→ lê-se: 3 não pertence a F.

 Relação de Inclusão

Usamos os símbolos de inclusão de conjunto na relação entre dois conjuntos.

⊂  →  está contido              

⊄  →  não está contido        

⊃  →  contém        

 ⊅  →  não contém       

⊆   →  está contido ou é subconjunto ou é uma parte          

 A ⊆ B ⇔ ∀x (x ∈ A → x ∈ B)

Exemplos:

 1)  Dados os conjuntos abaixo, E = {-2, -1, 0}, F = {0, 2, 4, 6, 8, …} e G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. Podemos afirmar que F ⊂ G, G ⊃ F, E ⊅ F, F ⊄ E

2) A ⊂ B ou B ⊃ A

Subconjuntos 

Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Assim: A ⊂ B, que se lê: A está contido em B. Simbolicamente escrevemos:  

A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

O conjunto A = {2, 3, 4, 5} é um subconjunto de  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , pois cada um dos elementos de A se acha em B (note que a recíproca não é verdadeira). Quando dois conjuntos C e D têm todos os elementos em comum (C = D), implica em: C ⊂ D e D ⊂ C. Por exemplo o conjunto C ={3, 6, 9}  está contido em D = {9, 3, 6} e vice-versa.

 Caso exista pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou que A não é subconjunto de B.  Simbolicamente escrevemos:  

∃x / (x ∈ A e x ∉  B) ⇒ A ⊄ B

Conjunto das Partes

Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjuntos possíveis de A. A esse novo conjunto chamamos de: Conjunto das partes de A, que é representado por P (A).  

    P(A) = {x/x ⊂ A}

Exemplo:

Sendo o conjunto A={2, 3, 5}, podemos escrever seus subconjuntos como segue:

 Com zero elemento – { }

Com um elemento – {2}, {3}, {5}

Com dois elementos – {2,3}, {2, 5}, {3, 5}

Com três elementos – {2,3, 5}

 Assim, temos:P(A) = { {  }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2, 5}, {3, 5}, {2,3, 5} }

Pode-se demonstrar que, se n(P(A)) = k então, o número de elementos que formam o conjunto das partes de A, é dado por (P(A))=2^K.

 Operações com conjuntos

  1 – União

A união entre dois conjuntos A e B consiste num outro conjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, lê-se: C é igual a A união B. De uma maneira mais concisa a definição dada acima pode ser escrita simbolicamente por:

A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}

 Exemplo:

Fazendo a união dos conjuntos A = {2, 4, 7}  e, B = {1, 3, 4},  temos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7}  Também podemos representar a união usando diagramas:

~

 2 – Intersecção

Chamamos de intersecção de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto constituído pelos elementos x que pertencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos: A ∩ B, lê-se: “A intersecção B“, ou por simplicidade “A inter B“. Esquematicamente temos: 

A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}

 Exemplo:

 Sejam L = {c, a, r, l, o, s}  e  V = {a, e, i, o, u}, temos: L ∩  V = {a, o} . Em diagramas:

 3 – Diferença

Denominamos diferença A – B (lê-se: A menos B), o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e não a B, seja: Sejam L = {c, a, r, l, o, s}  e  V = {a, e, i, o, u}, temos:, temos que a diferença L – V = {c, r, l,  s} . Em diagramas:

A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}

4 – Número de elementos da união de dois conjuntos

 Consideremos dois conjuntos A e B, iremos determinar os elementos de A por n(A), os elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A ∩ B).  A relação utilizando o diagrama:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)

5- Número de elementos da união de três conjuntos

Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de elementos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Exemplo Uma avaliação contendo duas questões foi dada a 200 alunos. Sabendo que:

– 50 alunos acertaram as duas questões.

 – 100 alunos acertaram a primeira questão.

– 99 alunos acertaram a segunda questão.

Quantos alunos erraram as duas questões?

1º questão = n(A)

2º questão = n(B) A

certaram as duas questões → n(A ∩ B) = 50

 Acertaram somente a questão A → n(A) – n(A ∩ B) = 100 – 50 = 50

 Acertaram somente a questão B → n(B) – n(A ∩ B) = 99 – 50 = 49

Erraram as duas questões → U – n(A) – n(B) – n(A∩ B) = 200 – 50 – 50 – 49 = 51

Exercícios

1) Marque a(s) sentença(s) verdadeira(s):

2) Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D={1, 2, 3, 4}, marque a(s) sentença(s) verdadeira(s):

3) Se A, B e C são conjuntos quaisquer, marque a(s) sentença(s) verdadeira(s):

4) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, c, d, e}, C={c, d} e D = {a, d, e}, marque a(s) sentença(s) verdadeira(s).

5) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Se U tem 35 elementos, A tem 20 elementos, A∩B tem 6 elementos e A ∪ B tem 28 elementos, determine o número de elementos dos conjuntos:

B=

A – B=

B – A=

A=

6) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras;

Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.

 b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras. Resposta:

7) (PUC) – Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

A) 200      B) os dados do problema estão incorretos       C) 900          D) 100        E) N.D.A

8) Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

 A) 200      B) os dados do problema estão incorretos       C) 900          D) 100        E) N.D.A