Conjuntos numéricos

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos  reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

Conjunto dos Números Naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.

Subconjuntos dos Números Naturais

• N* = {1, 2, 3, 4, 5…, n, …} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.

• N_p = {0, 2, 4, 6, 8…, 2n, …}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.

• N_i = {1, 3, 5, 7, 9…, 2n+1, …}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.

• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: conjunto dos números naturais primos.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):

Subconjuntos dos Números Inteiros

• Z* = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.

• Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z₊ = N.

• Z^*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.

• Z _– = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.

• Z^*– = {…, –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

Conjunto dos Números Racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, …, ±2, ±2/3, ±2/5, …, ±3, ±3/2, ±3/4, …}

Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.

Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,4444444444… Embora possua infinitas casas decimais, pode ser escrito como a fração 13/9.

Subconjuntos dos Números Racionais

• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.

• Q₊ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.

• Q^*₊ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.

• Q_– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.

• Q*_– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

Conjunto dos Números Irracionais (I)

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592… ou 1,203040…

Conjunto dos Números Reais (R)

O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.

Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.

Subconjuntos dos Números Reais

• R^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
• R^*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
• R_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
• R^*_– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.

Intervalos Numéricos

Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. Sejam a e b números reais e a < b, temos os seguintes intervalos reais:

Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b}

Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b}

Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b}

Propriedades dos Conjuntos Numéricos

Diagrama dos conjuntos numéricos

Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades:

• O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).
• O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
• O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
• Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).

Exercícios

1) Sejam a=|−8|, b= -6 e c=|5|. Calcule:

a) a+b

b) b ⋅ c

c) c-a

d) a ⋅ b+c

2) Diga se é verdadeira ou falsa cada proposição abaixo:

3) marque a(s) sentença(s) que apresenta(m) números irracionais:

a) √50

b) √7²

c) 1+2π

d) (3–√+1)²

4) Sobre os conjuntos numéricos, marque a alternativa incorreta.

A) Todo número natural é também um número racional.

B) Um número racional não pode ser irracional.

C) Todo número negativo é um número inteiro.

D) O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais e irracionais.

E) As dízimas periódicas são consideradas números racionais, portanto são também números reais.