Prova OBMEP 2015 Nível 2

\(\left( Cefet-AM \right)\)  Sabe-se que M \(\left( a,b \right)\)  é o ponto médio do segmento \(\bar { AB }\) . Se A\(\left( -6, -9 \right)\) e B \(\left( -2, -5\right)\) ,então as coordenadas do ponto M são:

{ UFPB} Se o ponto P{x -1,3  -2x} do plano está no segundo quadrante do sistema de eixos ortogonais então:

3.\(\left\{ Cefet-MG \right\} \) Dados os pontos A\( \left\{ 1,1 \right\} \) B \( \left\{ 9,2 \right\} \) e C \( \left\{ 5,8 \right\} \), o triângulo ABC é:

\(\left\{ Unifesp \right\} \) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas \(\left\{ x +3y, -x -y \right\} \) e também por \( \left\{ 4 + y, 2x  + y \right\} \) em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, \( { x }^{ y} \) é igual a:

\( \left\{PUC-SP \right\}  \) Em um sistemas de eixos cartesianos ortogonais, seja o paralelogramo,  ABCD em que A \( \left\{5,4 \right\} \), B \( \left\{-3, -2 \right\} \) e C \( \left\{1, -5 \right\} \). Se \( \bar { AC}  \) é uma das diagonais desse paralelogramo, a medida da outra diagonal, em unidades de comprimento, é:

\(\left\{ITA-SP \right\} \) Sejam A\(\left\{ 0, 0 \right\} \), B\(\left\{ 0, 6 \right\} \), C\(\left\{4, 3 \right\} \) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a:

\(\left\{ Ufam \right\}\) A área da figura OABC a seguir representa um terreno com forma de um quadrilátero não convexo, medido em metros quadrados. Podemos afirmar que essa área é:

\( \left( UEA-AM \right) \)  Num plano cartesiano, sabe-se que os pontos A 8\( \left( 1,2 \right) \) e \( \left( 2,3 \right) \) pertecem a uma mesma reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da coordenada de A é:

\( \left( ESPM-SP \right)  \) Os pontos 0\( \left(0, 0 \right)  \), \( P\left( x, 2 \right)  \) e Q \( \left(1, x +1  \right)  \) do plano cartesiano são distintos e colineares. A área do quadrado de diagonal \(\bar {PQ } \) vale:

\(\left(ENEM \right) \) Devido ao aumento do fluxo de passageiros uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para  importação de um novo ponto de parada em uma determinada rota.

A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizados por um ônibus nessa rota e a localização de dois dos seus atuais pontos de parada representadas por P e Q. 

Os estudos indicam que o  novo ponto T deverá ser instalado,  nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T  e entre os pontos T e Q sejam iguais.

De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são:

\( \left( Insper-SP \right) \) A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André representou três navios nas posições dadas pelas coordenadas B2, B14 e M3. Cada navio está identificado  por um quadrado sombreado.

André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centros dos três quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas:

\(\left\{Obmep \right\} \) O quadrado da figura tem uma vértice na origem, outro no ponto, \(\left\{10, 7 \right\} \) e um terceiro no ponto \(\left\{a, b \right\} \). Qual é o valor de a + b?

\(\left( PUC-RJ \right) \) Se os pontos, A\(\left( 1, 0 \right) \), B\(\left( 1, 0 \right) \), C\(\left( x,y \right) \) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é:

\(\left( PUC-RJ \right) \) Seja de \(\left( P, Q \right) \) a distância entre os pontos P e Q. 

Considere A – \(\left( 1, 0 \right) \) e B – \(\left( 1, 0\right) \), pontos do plano.

O número de pontos X – \(\left( x,y \right) \) tais que d\(\left(X,B \right) \) –    -\(\frac { 1 }{2 } \)d\(\left( X,A \right) \) – \(\frac { 1 }{2 } \) d\(\left( A,B\right) \) é igual a:

\(\left(UFRGS-RS \right) \) Em um sistema de coordenadas cartesianas, serão traçados triângulos isósceles.

Os vértices da base do primeiro triângulo são os  pontos A \(\left(-1, 2 \right) \)  e B \(\left(2, 2 \right) \); os vértices da base do segundo triângulo são C \(\left(3,5 ; 2 \right) \) e D \(\left(6,5; 2 \right) \) o terceiro triângulo tem os vértices de sua base nos pontos E \(\left(8;2 \right) \) e F \(\left(11; 2 \right) \). Prosseguindo com esse padrão de construção , obtém-se uma sequência de triângulos.

Com base nesses dados, é correto afirmar que a abscissa do vértice oposto à base do \({ 18 }^{ º }\) triângulo é:

\(\left( ENEM\right) \) Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal, Desconsidera a largura das ruas.

A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A.

Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas

\(\left( UFMG\right) \) Nesta figura, está representado uma quadrado de vértices ABCD:

Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são  A\(\left(0,0 \right) \) e B\(\left(3,4 \right) \).

Então é CORRETO afirmar que o resultado da soma das coordenadas da vértice D é:

\(\left( Ufscar-SP\right) \) Um bairro de uma cidade está representando de forma esquemática sobre um plano cartesiano, conforme mostra a área verde na figura.

Os pontos C, S e E delimitam a área a ser revitalizada pela prefeitura e, dentro dessa área, o triângulo de vértices  P,S e L  delimita a área onde será construído um espaço de lazer para a população.

Sabendo-se que todas as coordenadas desse plano cartesiano estão em Km, é correto concluir que a área, em \({ Km }^{2 }\), destinada ao espaço de lazer é:

\( \left(Fuvest-SP \right) \) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0,0), B = (3,4) e C =(8, 0) . O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado \(\bar { AB } \) e o vértice P sobre o lado  \(\bar { BC } \). Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é:

\(\left( PUC-MG\right)  \) Os catetos \(\bar { AC } \) e \(\bar { AB } \) de um triângulo retângulo estão sobre sobre os eixos de um sistema cartesiano. Se M \(\left( -1, 3\right)  \) for no ponto médio da hipotenusa \(\bar { BC } \), é correto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a:

\( \left( PUC-SP \right) \) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente: X, á velocidade constante de 16 milhas por hora , e Y  á velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que ás 15 horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto X  navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, ás 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas era:

\(\left( Mack-SP \right) \)

Se, no gráfico acima, os pontos \( { A }_{ n} \) = \(\left(4n, { y }_{ n} \right) \), n = 0,1,2…, estão sobre uma reta e a distância de \( {A}_{ 0 } \) a \( { A }_{ 1} \) a 5, então a soma \({ y }_{ 0}\) + \({ y}_{ 1}\) + \({ y }_{ 2}\) + … + \({A}_{ 200}\) é igual a :

\(\left(UFSM-RS \right) \) O uso de fontes de energia limpas e renováveis, como a energia eólica, geométrica e hidráulica, é uma das ações relacionadas com a sustentabilidade que visa diminuir o consumo de combustíveis fósseis, além de preservar os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em uma estação de energia eólica, os cata-ventos \( { C }_{ 1 } \) , \( { C }_{ 2} \), \( { C }_{ 3 } \), estão dispostos conforme o gráfico a seguir.

Para que um cata-vento de coordenadas (x,y) esteja alinhado com o cata-vento \( {C }_{ y } \) e com o ponto médio do segmento \(  \bar { { C }_{ 2 }{ C }_{ 3} } \), é necessário e suficiente que:

\(\left( Fatec-SP \right) \) No plano cartesiano da figura, considere que as escalas nos dois eixos coordenados são iguais e que a unidade de medida linear é 1cm . Nele, está representada parte de uma linha poligonal que começa no ponto P\(\left( 0;3 \right) \) e, mantendo-se o mesmo padrão, termina em um ponto Q.

Na figura, a linha poligonal é formada por segmentos de reta

• que são paralelos aos eixos coordenados e
• cujas extremidades têm coordenadas inteiras negativas
  

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  Sabendo que o comprimento da linha poligonal, do ponto P até o ponto Q, é igual a 94 cm, as coordenadas do ponto Q são: