Teorema de Tales – Geometria

Motivação

Uma empresa de TV a cabo deseja instalar uma antena no topo da Torre Digital. Para isso, precisa saber qual a medida de cabo necessário para que ele chegue até a base da torre.

Esse tipo de problema é mais antigo do que imaginamos. Surgiu na idade antiga quando um faraó ofereceu uma recompensa para aquele que conseguisse calcular a altura de sua pirâmide.

De andada pelo Egito, estava Tales de Mileto, um grande matemático, que aceitou o desafio e buscou a solução aplicando os conhecimentos da matemática. Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos entre si, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos.

(Imagem piramide e estaca)

A partir disso, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para realizar tal façanha, ele fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a seguinte proporção:

[latex]\frac{{altura\_da\_estaca}}{{sombra\_da\_estaca}} = \frac{{altura\_da\_pirâmide}}{{sombra\_da\_pirâmide}}[/latex]

Daí, surgiu o Teorema de Tales.

Teorema de Tales

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão(divisão) entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra.

[latex]\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {BC} }} = \frac{{\overline {DE} }}{{\overline {EF} }}[/latex]

Exemplos:

Nas figuras, as retas r, s e t são paralelas. Determine o valor de x.

a)

Resolução:
[latex]\begin{array}{c}
\frac{4}{6} = \frac{x}{5}\\
6 \cdot x = 4 \cdot 5\\
6x = 20\\
x = \frac{{20}}{6}\\
x = \frac{{10}}{3}
\end{array}[/latex]

b)

Resolução:
[latex]\begin{array}{c}
\frac{{2x + 4}}{{5x + 1}} = \frac{4}{7}\\
4 \cdot \left( {5x + 1} \right) = 7 \cdot \left( {2x + 4} \right)\\
4 \cdot 5x + 4 \cdot 1 = 7 \cdot 2x + 7 \cdot 4\\
20x + 4 = 14x + 28\\
20x – 14x = 28 – 4\\
6x = 24\\
x = \frac{{24}}{6}\\
x = 4
\end{array}[/latex]

Voltando para a situação hipotética. E então, qual é a medida do cabo necessária para instalar uma antena no topo da Torre Digital?

Continue acompanhando o blog Matematicazup. Em breve, a continuação dessa história.